Contoh Soal Induksi Matematika | Matematika Kelas 11

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh, Sob. Bagaimana kabar semuanya? Semoga baik ya, aamiin. Alhamdulillah kali ini aku mau bahas soal-soal induksi matematika. Selamat menyimak.. Semoga diberi kemudahan dalam belajar aamiin.

-

Sumber: https://smatika.blogspot.com/2017/07/induksi-matematika.html

Contoh 1

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua bilangan asli n, 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = 1/6 n(n + 1)(2n + 1)!

✓langkah pertama

Untuk n = 1

n² = 1/6 n(n + 1)(2n + 1)

1² = 1/6 (1)(1 + 1)(2.1 + 1)

1 = 1/6(2)(3)

1 = 1/6(6)

1 = 1 terbukti

✓langkah kedua

Untuk n = k maka 1² + 2² + 3² + 4² + ... + k² = 1/6 k(k + 1)(2k + 1)

Misal k = 3

1² + 2² + 3² = 1/6 (3)(3 + 1)(2.3 + 1)

1 + 4 + 9 = 1/2 (4)(7)

14 = 14 terbukti

✓langkah ketiga

Untuk n = k + 1

1² + 2² + 3² + 4² + ... + k² + (k + 1)² = 1/6 (k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)

Perubahan ruas kiri:

= [1² + 2² + 3² + 4² + ... + k²] + (k + 1)²

= 1/6 k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)²

= (k + 1)[1/6 k (2k + 1) + (k + 1)]

= (k + 1)[1/6[(2k² + k) + (6k + 6)]]

= (k + 1)[1/6[(2k² + 7k + 6)]]

= (k + 1)[1/6[(k + 2)(2k + 3)]]

= 1/6 (k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)]

Karena perubahan ruas kiri sama dengan ruas kanan maka terbukti benar

Maka 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = 1/6 n(n + 1)(2n + 1) benar terbukti.

Contoh 2

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 2³ + 4³ + 6³ + ... + (2n)³ = 2n² (n + 1)²!

✓langkah pertama

Untuk n = 1

(2.1)³ = 2.1³ (1 + 1)²

8 = 2×4

8 = 8 terbukti

✓langkah kedua

Untuk n = k maka 2³ + 4³ + 6³ + ... + (2k)³ = 2k² (k + 1)²

Misal k = 2

2³ + 4³ = 2(2)² (2 + 1)²

8 + 64 = 2.4(9)

72 = 72 terbukti

✓langkah ketiga

Untuk n = k + 1

2³ + 4³ + 6³ + ... + (2k)³ + (2(k + 1))³ = 2(k + 1)² ((k + 1) + 1)²

2k² (k + 1)² + (8(k + 1)³) = 2(k + 1)² (k + 2)²

2k² (k + 1)² + 8(k + 1)² (k + 1) = 2(k + 1)² (k + 2)²

2(k + 1)² [k² + 4(k + 1)] = 2(k + 1)² (k + 2)²

2(k + 1)² (k² + 4k + 4) = 2(k + 1)² (k + 2)²

2(k + 1)² (k + 2)(k + 2) = 2(k + 1)² (k + 2)²

2(k + 1)² (k + 2)² = 2(k + 1)² (k + 2)² terbukti

Maka 2³ + 4³ + 6³ + ... + (2n)³ = 2n² (n + 1)² benar terbukti.

Contoh 3

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 4^(2n) - 1 selalu habis dibagi 15!

✓langkah pertama

Untuk n = 1

4^(2.1) - 1 = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15 habis dibagi 15

✓langkah kedua

Untuk n = k maka 4^(2k) - 1 

Misal k = 2

4^(2.2) - 1 = 4^4 - 1 = 256 - 1 = 255 habis dibagi 15

✓langkah ketiga

Untuk n = k + 1, dengan langkah kedua sebagai modal maka

= 4^(2(k + 1)) - 1

= 4^(2k + 2) - 1

= 4^(2k).4² - 1

= 4^(2k).16 - 1

= 4^(2k)(15 + 1) - 1

= 4^(2k)(15) + 4^(2k) - 1

4^(2k)(15) habis dibagi 15

4^(2k) - 1 habis dibagi 15

Terbukti bahwa 4^(2n) - 1 selalu habis dibagi 15.

Contoh 4

Buktikan bahwa n³ + 2n adalah kelipatan 3 untuk semua bilangan asli!

✓langkah pertama

Untuk n = 1 

1³ + 2(1) = 1 + 2 = 3 terbukti

✓langkah kedua

Untuk n = k maka k³ + 2k

Misal k = 4 

4³ + 2(4) = 64 + 8 = 72 habis dibagi 3/merupakan kelipatan 3 (terbukti)

✓langkah ketiga

Untuk n = k + 1

= (k + 1)³ + 2(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 2k + 2

= k³ + 2k + 3k² + 3k + 3

= k³ + 2k + 3(k² + k + 1) terbukti

Maka terbukti bahwa n³ + 2n adalah kelipatan 3 untuk semua bilangan asli.

Contoh 5

Buktikan bahwa n³ - n dapat dibagi dengan 3 apabila n adalah suatu bilangan bulat positif!

✓langkah pertama

Untuk n = 1

1³ - 1 = 0 dapat dibagi 3 (terbukti)

✓langkah kedua

Untuk n = k maka k³ - 1

Misal k = 4

4³ - 1 = 64 - 1 = 63 dapat dibagi 3 (terbukti)

✓langkah ketiga

Untuk n = k + 1 maka (k + 1)³ - (k + 1)

= (k + 1)³ - (k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 - k - 1

= k³ - k + 3k² + 3k

= k³ - k + 3(k² + k)

k³ - k dapat dibagi 3

3(k² + k) dapat dibagi 3

Maka terbukti bahwa n³ - n dapat dibagi dengan 3 apabila n suatu bilangan bulat positif.

Demikian beberapa contoh soal induksi matematika yang dapat aku berikan. Jika ada kesalahan atau pertanyaan bisa tulis di kolom komentar atau langsung kirim email juga boleh (nurkhasanah0418@gmail.com).

Jazakallahu khairan. Semoga bermanfaat. Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Bye! Sampai ketemu di postinganku selanjutnyaa!

Referensi:

Anita, Ira Dwi, S.Pd. Tanpa Tahun. Modul Bahan Ajar Matematika (Mata Pelajaran Wajib) untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 1. Sukoharjo: Sindunata.