Induksi Matematika | Matematika Kelas 11
 |
| Gambar: www.kompas.com |
Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika
_
A. Notasi Sigma
Merupakan huruf dari Yunani. Berfungsi untuk meringkas penulisan penjumlahan berbentuk panjang dari suku-suku bervariabel indeks.
Contoh:
B. Induksi Matematika
Merupakan suatu metode untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli.
Tahap-tahapnya:
1. Tunjukkan untuk n = 1 (benar)
2. Tunjukkan untuk n = k (benar)
3. Tunjukkan untuk n = k + 1 juga benar
Contoh Pada Bilangan
Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) = 1/2n(3n - 1)
Langkah pertama
Kita buktikan untuk n = 1 adalah benar.
3n - 2 = 1/2n(3n - 1)
3(1) - 2 = 1/2(1)(3.1 - 1)
1 = 1/2(2)
1 = 1 (benar)
Langkah kedua
Kita asumsikan pernyataan benar untuk n = k.
1 + 4 + 7 + ... + (3k - 2) = 1/2k(3k - 1)
dicoba k = 4
1 + 4 + 7 + (3.4 - 2) = 1/2(4)(3.4 - 1)
1 + 4 + 7 + 10 = 2(11)
22 = 22 ( benar)
Langkah ketiga
Buktikan untuk pernyataan n = k + 1 juga benar. Kita bisa membuktikannya menggunakan modal dari langkah kedua. Karena n = k + 1, maka
Karena ruas kiri dan kanan sudah sama, maka terbukti benar kalau deret 1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) nilainya sama dengan 1/2n(3n - 1).
Nah, untuk contoh soal pada bilangan udah nih, semoga paham ya, Sob! Aamiin. Selanjutnya contoh soal pada pembagian nih, cekidot.
Contoh Pada Pembagian
1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 3^n – 1 habis dibagi oleh 2!
Langkah pertama
Untuk n = 1
3^n – 1 = 3¹ – 1 = 2 habis dibagi 2
Langkah kedua
Untuk n = k maka 3^k – 1
Dicoba k = 3
= 3³ – 1
= 27 – 1 = 26 habis dibagi 2
Langkah ketiga
Untuk n = k + 1
= 3^(k + 1) – 1
= 3^k.3¹ – 1
= 3^k (2 + 1) – 1
= 2.3^k + 3^k – 1
(2.3^k habis dibagi 2) (3^k – 1 habis dibagi 2) maka terbukti bahwa 3^n – 1 habis dibagi oleh 2.
2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 6 adalah faktor dari n³ + 5n!
Langkah pertama
Untuk n = 1
n³ + 5n = 1³ + 5.1 = 6 habis dibagi 6
Langkah kedua
Untuk n = k maka k³ + 5k
dicoba k = 4
= 4³ + 5.3
= 64 + 20 = 84 habis dibagi 6
Langkah ketiga
Untuk n = k + 1
= (k + 1)³ + 5 (k + 1)
= (k³ + 3k² + 3k + 1) + 5k + 5
= k³ + 5k + 3k² + 3k + 6
= k³ + 5k + 6(1/2k² + 1/2k + 1)
(k³ + 5) habis dibagi 6
6(1/2k² + 1/2k + 1) habis dibagi 6 maka terbukti bahwa 6 adalah faktor dari n³ + 5n.
Baik. Demikian materi dan contoh soal serta pembahasannya tentang induksi matematika yang dapat aku berikan. Kalau ada kesalahan jangan segan kasih saran kritik ke aku yaa!
Jazakallahu khairan. Semoga bermanfaat. Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Bye! Sampai ketemu di postinganku selanjutnyaa!
Referensi:
Anita, Ira Dwi, S.Pd. Tanpa Tahun. Modul Bahan Ajar Matematika (Mata Pelajaran Wajib) untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 1. Sukoharjo: Sindunata.
Komentar
Posting Komentar